撲克裡的數學

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今天要談的是，撲克裡的數學。

撲克需要的技巧有三項：邏輯、心理和機率，今天我們來談談撲克裡面比較數學的部分，也就是機率。首先，我們先介紹幾個常見的詞彙。




Pot odds: 這是指當對手下注時，你需要多少 % 的勝率才能有利益的跟注。舉個例子會比較好懂，假設 pot 裡面有 10 元，這時對手下注 10 元，你決定要跟注10元。所以一旦你贏了是贏到 20元，而輸了你就會失去跟注的 10元。因此你的手牌需要的勝率x是 (10+10)x - 10(1-x) >0, 算一下 x> 0.333, 也就是 33.3%.我們可以把這個結果當成一個指標，每當對手下注 pot size 的時候，我們需要33.3% 的勝率才能有利益的跟注。當對手下少於 pot size 的時候，你只需要少於33.3%的勝率就能跟注了。



Implied Pot odds: 這指的是雖然你可能在當下的跟注並不符合 pot odds(也就是你的跟注是沒有即刻的利益), 但是在後面的 street一旦你的手牌完成了，你可以從你的對手榨取很多的籌碼，這時候的跟注我們稱做是為了 implied pot odds. 最常見的例子是在 preflop 的時候拿著小對子跟注，假設對手是 AA 我們的跟注當下是不符合 pot odds 的，但是一旦我們可以抽獎中 set, 對手會付出非常可觀的代價。



Fold equity: 每當你下注，你期待對手可能會蓋掉他的手牌，也就是他放棄了他在這個 pot 中所分享的 equity, fold equity 就是你期待他蓋牌而讓你所得到的 equity。定義是 "(對手可能蓋牌的機率) * (他在這個 pot 中有的 equity)"

因此每當你下注你可以把自己總體的 equity 看成是 目前的equity + fold equity舉個例子：假設你手上拿著 A8o 在 KQ7r board 對著 22 c-bet, 那你可以想像成你有 28.2%+ 80%*71.7%= 85.6% 的 equity.(這裡我們假設對手有 80% 的可能會在這個 board 上蓋掉他的 22.)



從上述的內容我們可以得到兩點結論：

1、你必須要下注或者加注才能得到所謂的 fold equity, 因為很顯然的你不下注對手沒辦法蓋牌。


2、 fold equity 是本身對對手的判斷的產物，因此在下注時除了牌面和對對手的手牌判斷以外，對手的個性也是要納入考量的一個要點。如果對手是個 calling station 那麼基本上你對他是沒有所謂的 fold equity 存在的。



好了，現在我們有了以上幾個名詞的基本了解，接下來我們來看看實際上是如何在一個牌局進行以上面的概念來進行思考：



NLH 1/2 6max 100BB deep, UTG的玩家 raise到6元，fold到我們在 button拿著7h8h,此時我們決定跟注。雖然我們的手牌對上大部分的 UTG range 都不符合當下的 pot odds.(各位可以自己算一算，此時需要的 pot odds 是40%, 要連盲注一同計算)但是跟這類的同花連牌主要是為了它的 implied odds, 同時我們擁有之後所有 streets最絕對的位置優勢button. 假設大盲和小盲都蓋帽，flop是 4c5dJh (pot=15), 我們有 gut shot to the nuts, 還有 back door flush draw, 對上合理的 UTG range, 我們大概有 32% 左右的 equity.(這裡我是假設 UTG open 12%的牌並且在這個 board 上c-bet 他range裡所有的牌，因為這是一個很乾的 board, 因此這個假設是合理的。)UTG c-bet 10,此時我們需要的pot odds 為 28.6%(10/(10+10+15)), 也就是說我們在這邊的跟注是合乎pot odds 的。我在這裡幾乎總是會跟注，除了我們可以有利益的跟注以外，最主要的原因是我不希望在這個 flop 上面再被 reraise而我們必須要放棄這個 pot. 如果要 raise 我會選擇沒有 back door flush 的board, 比如說是 4c5cJd 這類我們 equity 不好同時也沒什麼 turn card 好期待的board. 假設TURN 是 9h (pot=35),我們這時候得到了非常多的 equity, 任何的紅心， 6和T都是合理的 outs. 對手持續開火 25,我們在這個 turn 對上 made hand 的 equity大約是 33%左右.也就是說我們還是可以合乎 pot odds 的跟注。我們來試試看 raise 這個選項：雙方都是 100BB deep,這時我們raise到77. 假設對手不是 fold 就是 all in, 現在的問題是他要多常fold 我們才能讓這個 play 有利益?接下來會有些數學，請有點耐性。

首先我們先來看一個有點糟的情況，假設對方發狂 reraise all in, 這時候我們應不應該跟?在裡面的 dead money有35+25+77+159=296,我們後面剩下107.所以我們要 call 107 來贏 296, 我們需要 26.5% 才能 break even. 對上對手合理的 RRAI 的 range 我們大約有 31% 的equity. 因此一旦你做了這個 semi-bluff 你就沒辦法回頭必須要跟到底了。

現在我們來看他要多常 fold 我們才能讓這個 play 有利益。pot 35, 對手下注 25, 因此 dead money 為60, 我們 raise到77, 假設對手fold的機率 x, all in (1-x), 當對手fold時，我們可以得到 60*x; 當對手 all in我們有31%的機會能贏，我們可以得到 219*(1-x)*31%; 當對手 all in 我們有69%的時候會輸，我們會失去184*(1-x)*69%(因為對手 all in 後我們也是要 call, 所以雖然我們raise到77但實際上我們是 risk 184 to win 403-184=219).因此要讓這個 play 有利益，得到-失去>0, 最後你會得出x為49.6%，也就是說對手要蓋超過49.6%,這就會是一個賺錢的play。當然在實戰的時候我們無法做這麼麻煩的計算，我只是讓大家有點數學在撲克中是如何進行的感覺。同時也請不要誤會，一個+EV 的play未必是最好的play,這邊我們雖然要讓對手fold超過49.6%就可以獲得利益，但是依照對手不同的習性，你應該做不同的選擇。比如說對手是個不願意fold TJ 的 donkey,你何必在自己只有 31% equity 的情況下和他 all in 呢? 既然他是個 donkey 那你更可以在 river draw 到的時候好好的 value bet 他一番。

　　相信你很常會聽到以下的這句話積極的撲克是致勝的撲克(aggressive poker is winning poker)，這在數學上也可以獲得佐證，每當你下注或者加注，你可以得到額外的 fold equity, 只要使用得當，長期下這些累積得到的 equity 就會反應在你的win rate上。當然，如何才能使用得當是要我們好好努力學習的。